Giáo dục
2 vecto vuông góc khi nào?
Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá các phương pháp chứng minh hai vecto vuông góc, từ định nghĩa cơ bản đến ứng dụng thực tế trong hệ tọa độ. Qua những ví dụ minh họa cụ thể, bạn sẽ nắm rõ được cách tính góc và tích vô hướng, giúp củng cố kiến thức toán học một cách hiệu quả và thú vị.
Phương pháp chứng minh hai vectơ vuông góc bằng định nghĩa và công thức tính góc giữa chúng
Để chứng minh hai vectơ vuông góc, ta có thể sử dụng định nghĩa hoặc công thức tính góc giữa chúng.
Định nghĩa: Hai vectơ được gọi là vuông góc với nhau nếu tích vô hướng của chúng bằng 0. Điều này có nghĩa là góc giữa hai vectơ là 90 độ.
Công thức tính góc giữa hai vectơ: Góc giữa hai vectơ a và b được tính theo công thức:
cos(α) = (a.b) / (|a| * |b|)
Trong đó:
a.b là tích vô hướng của hai vectơ a và b.
|a| và |b| là độ dài của các vectơ a và b tương ứng.
Nếu góc α bằng 90 độ, thì cos(α) bằng 0. Do đó, nếu tích vô hướng của hai vectơ bằng 0, thì hai vectơ đó vuông góc với nhau.
Ví dụ:
Cho hai vectơ a = (1, 2) và b = (-2, 1). Để chứng minh hai vectơ này vuông góc, ta tính tích vô hướng của chúng:
a.b = 1*(-2) + 2*1 = 0
Vì tích vô hướng bằng 0, nên hai vectơ a và b vuông góc với nhau.
Sử dụng tính chất của tích vô hướng và áp dụng trong hệ tọa độ để chứng minh hai vectơ vuông góc
Một cách khác để chứng minh hai vectơ vuông góc là sử dụng tính chất của tích vô hướng và áp dụng trong hệ tọa độ.
Tính chất của tích vô hướng:
Tích vô hướng của hai vectơ a và b được tính theo công thức: a.b = |a| * |b| * cos(α), trong đó α là góc giữa hai vectơ a và b.
Nếu hai vectơ a và b vuông góc, thì góc α bằng 90 độ, do đó cos(α) bằng 0. Điều này có nghĩa là tích vô hướng của hai vectơ a và b bằng 0.
Áp dụng trong hệ tọa độ:
Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai vectơ a = (a1, a2) và b = (b1, b2). Tích vô hướng của hai vectơ này được tính theo công thức: a.b = a1b1 + a2b2.
Do đó, để chứng minh hai vectơ a và b vuông góc, ta chỉ cần chứng minh rằng a1b1 + a2b2 = 0.
Ví dụ:
Cho hai vectơ a = (2, 3) và b = (-1, 2). Để chứng minh hai vectơ này vuông góc, ta tính tích vô hướng của chúng:
a.b = 2*(-1) + 3*2 = 4
Vì tích vô hướng không bằng 0, nên hai vectơ a và b không vuông góc.
Tuy nhiên, nếu ta thay đổi thành phần thứ hai của vectơ b thành -3, ta sẽ có:
a.b = 2*(-1) + 3*(-3) = -11
Vì tích vô hướng bằng 0, nên hai vectơ a = (2, 3) và b = (-1, -3) vuông góc.
Ví dụ minh họa chứng minh hai vectơ vuông góc với các bài toán cụ thể
Để hiểu rõ hơn về cách chứng minh hai vectơ vuông góc, chúng ta sẽ xét một số ví dụ cụ thể:
Ví dụ 1:
Cho hai vectơ a = (1, 2) và b = (-2, 1). Chứng minh hai vectơ này vuông góc.
Giải:
Ta tính tích vô hướng của hai vectơ:
a.b = 1*(-2) + 2*1 = 0
Vì tích vô hướng bằng 0, nên hai vectơ a và b vuông góc.
Ví dụ 2:
Cho tam giác ABC có AB = AC. Chứng minh rằng đường trung trực của BC vuông góc với BC.
Giải:
Gọi M là trung điểm của BC. Ta cần chứng minh rằng vectơ AM vuông góc với vectơ BC.
Ta có:
AM là đường trung trực của BC, nên AM vuông góc với BC tại M.
Vectơ AM và vectơ BC có cùng điểm đầu là A.
Do đó, góc giữa AM và BC là 90 độ, tức là AM vuông góc với BC.
Ví dụ 3:
Cho hai đường thẳng d1 và d2 có phương trình lần lượt là x + 2y = 0 và 2x – y = 0. Chứng minh rằng d1 và d2 vuông góc.
Giải:
Ta có:
Vectơ pháp tuyến của d1 là n1 = (1, 2).
Vectơ pháp tuyến của d2 là n2 = (2, -1).
Để chứng minh d1 và d2 vuông góc, ta chỉ cần chứng minh rằng n1 và n2 vuông góc.
Ta tính tích vô hướng của n1 và n2:
n1.n2 = 12 + 2(-1) = 0
Vì tích vô hướng bằng 0, nên n1 và n2 vuông góc, do đó d1 và d2 vuông góc.
Qua các ví dụ trên, ta có thể thấy rằng việc chứng minh hai vectơ vuông góc có thể được thực hiện bằng cách sử dụng định nghĩa, tính chất của tích vô hướng hoặc áp dụng trong hệ tọa độ.
Bài tập tự luyện để tìm giá trị m để hai vectơ vuông góc với nhau và giải thích các bước giải
Để củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng chứng minh hai vectơ vuông góc, chúng ta sẽ giải một số bài tập tự luyện sau:
Bài 1:
Cho hai vectơ a = (2m – 1, 3) và b = (2, 1 – m). Tìm giá trị của m để hai vectơ a và b vuông góc.
Giải:
Để hai vectơ a và b vuông góc, ta cần có tích vô hướng của chúng bằng 0:
a.b = (2m – 1)2 + 3(1 – m) = 0
Giải phương trình trên, ta được m = -1.
Vậy với m = -1, hai vectơ a và b vuông góc.
Bài 2:
Cho ba điểm A(-1, 2), B(m – 1, 3) và C(2, 1). Tìm giá trị của m để tam giác ABC vuông tại B.
Giải:
Để tam giác ABC vuông tại B, ta cần có vectơ AB vuông góc với vectơ BC.
Ta có:
AB = (m, 1)
BC = (3 – m, -2)
Tích vô hướng của AB và BC là:
AB.BC = m*(3 – m) + 1*(-2) = -m^2 + 3m – 2
Để AB.BC = 0, ta giải phương trình bậc hai:
-m^2 + 3m – 2 = 0
Giải phương trình trên, ta được m = 1 hoặc m = 2.
Vậy với m = 1 hoặc m = 2, tam giác ABC vuông tại B.
Bài 3:
Cho tam giác ABC với A(1, 6), B(2, 6), C(1, 1) và H(m, 2n+1). Tìm giá trị của m và n để H là trực tâm của tam giác ABC.
Giải:
Để H là trực tâm của tam giác ABC, ta cần có AH vuông góc với BC và BH vuông góc với AC.
Ta có:
AH = (m – 1, 2n – 5)
BC = (-1, -5)
BH = (m – 2, 2n – 5)
AC = (-1, 5)
Để AH vuông góc với BC và BH vuông góc với AC, ta cần có:
AH.BC = 0 và BH.AC = 0
Giải hệ phương trình trên, ta được m = 1 và n = 5/2.
Vậy với m = 1 và n = 5/2, H là trực tâm của tam giác ABC.
Qua các bài tập trên, chúng ta có thể thấy rằng để tìm giá trị của m để hai vectơ vuông góc, ta thường sử dụng định nghĩa hoặc tính chất của tích vô hướng. Sau đó, ta giải phương trình hoặc hệ phương trình để tìm giá trị của m.
Tìm m và n để điểm H là trực tâm của tam giác ABC thông qua điều kiện vuông góc
Để điểm H là trực tâm của tam giác ABC, ta cần đảm bảo rằng AH vuông góc với BC và BH vuông góc với AC. Điều này có nghĩa là tích vô hướng của AH và BC, cũng như tích vô hướng của BH và AC, phải bằng 0.
Tìm AH và BC:
AH = (m – 1, 2n – 5)
BC = (-1, -5)
Tìm BH và AC:
BH = (m – 2, 2n – 5)
AC = (-1, 5)
Tính tích vô hướng:
AH.BC = (m – 1)(-1) + (2n – 5)(-5) = -m + 1 – 10n + 25 = -m – 10n + 26
BH.AC = (m – 2)(-1) + (2n – 5)(5) = -m + 2 + 10n – 25 = -m + 10n – 23
Đặt điều kiện:
Để AH vuông góc với BC và BH vuông góc với AC, ta cần có:
AH.BC = 0
BH.AC = 0
Giải hệ phương trình:
Từ hai phương trình trên, ta có hệ phương trình:
-m – 10n + 26 = 0
-m + 10n – 23 = 0
Giải hệ phương trình này, ta được m = 1 và n = 5/2.
Kết luận:
Vậy, để điểm H là trực tâm của tam giác ABC, ta cần có m = 1 và n = 5/2. Điều này đảm bảo rằng AH vuông góc với BC và BH vuông góc với AC, thỏa mãn điều kiện để H là trực tâm.
Các chủ đề liên quan: Hai vectơ vuông góc , Hệ tọa độ
Tổng biên tập: Nguyễn Ngọc Kim Hằng
