Giáo dục
Số vô tỉ là gì?
Bài viết này khám phá những khái niệm cơ bản về số vô tỉ, từ sự phát hiện của Pythagoras đến các lý thuyết hình học của Eudoxus và Zeno. Tìm hiểu ảnh hưởng sâu rộng của chúng trong toán học và lý thuyết tỷ lệ qua những khám phá đáng chú ý.
Khái niệm và định nghĩa về số vô tỉ trong toán học và sự khác biệt với số hữu tỉ
Trong toán học, số vô tỉ là tất cả các số thực không phải là số hữu tỷ, nghĩa là không thể biểu diễn dưới dạng tỉ số của hai số nguyên. Khi tỷ lệ độ dài của hai đoạn thẳng là một số vô tỉ, các đoạn thẳng này cũng được mô tả là không thể đo lường được, có nghĩa là chúng không chia sẻ “thước đo” chung, nghĩa là không có độ dài (“số đo”) chung, dù là ngắn đến đâu, mà có thể được sử dụng để thể hiện độ dài của cả hai đoạn thẳng đã cho dưới dạng bội số nguyên của cùng một đoạn thẳng đơn vị chung.
Các ví dụ về số vô tỉ là tỷ lệ π của chu vi của vòng tròn với đường kính của nó, số Euler e, tỷ lệ vàng φ, và căn bậc hai của hai; trong thực tế, tất cả các căn bậc hai của số tự nhiên, trừ căn bậc hai của các số chính phương, đều là các số vô tỉ.
Các ví dụ nổi bật về số vô tỉ như π, e, φ và căn bậc hai của hai
Trong toán học, một số ví dụ nổi bật về số vô tỉ giúp làm rõ khái niệm về chúng là π, số Euler e, tỷ lệ vàng φ, và căn bậc hai của hai. Những số này không chỉ quan trọng trong lý thuyết toán học mà còn có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau.
Số π (pi) là một trong những số vô tỉ nổi tiếng nhất và đóng vai trò quan trọng trong hình học, đặc biệt là khi tính toán chu vi và diện tích của hình tròn. π được định nghĩa là tỷ lệ giữa chu vi của một vòng tròn và đường kính của nó. Biểu diễn thập phân của π bắt đầu với 3.14159 và kéo dài vô hạn mà không có sự lặp lại, điều này chứng tỏ tính vô tỉ của nó.
Số Euler e là một số vô tỉ khác cũng rất quan trọng, đặc biệt trong các lĩnh vực liên quan đến lũy thừa và hàm mũ. Số e có giá trị khoảng 2.71828 và xuất hiện trong nhiều phương trình toán học liên quan đến sự phát triển liên tục và biến đổi. Giống như π, e có biểu diễn thập phân không bao giờ kết thúc hoặc lặp lại.
Tỷ lệ vàng φ (phi) là một số vô tỉ đặc biệt có liên quan đến hình học và nghệ thuật. Tỷ lệ này được định nghĩa bằng cách giải phương trình x2=x+1x^2 = x + 1×2=x+1, dẫn đến giá trị khoảng 1.61803. Tỷ lệ vàng φ xuất hiện trong nhiều cấu trúc tự nhiên, kiến trúc và thiết kế nghệ thuật, nhấn mạnh sự hấp dẫn và tính cân đối trong các hình dạng.
Cuối cùng, căn bậc hai của hai, ký hiệu là 2\sqrt{2}2, cũng là một ví dụ tiêu biểu về số vô tỉ. Căn bậc hai của hai là số dương không thể viết dưới dạng phân số, và nó có giá trị khoảng 1.41421. Số này xuất hiện trong nhiều bài toán hình học, đặc biệt là khi làm việc với tam giác vuông cân, nơi nó đại diện cho tỷ lệ giữa cạnh huyền và cạnh góc vuông.
Những ví dụ này minh họa rõ ràng tính chất của số vô tỉ, nhấn mạnh rằng chúng không thể đại diện bằng một tỉ số chính xác và có những ứng dụng quan trọng trong toán học cũng như trong các lĩnh vực khoa học và nghệ thuật.
Tính chất của số vô tỉ trong hệ thống số cơ sở và các chuỗi không chấm dứt, không lặp lại
Trong hệ thống số cơ số bất kỳ, số vô tỉ có thể được biểu diễn dưới dạng chuỗi không chấm dứt và không lặp lại. Điều này có nghĩa là chuỗi số không kết thúc và không có chuỗi con lặp lại trong phần đuôi của chuỗi. Ví dụ, biểu diễn thập phân của số pi (π) bắt đầu bằng 3.14159, nhưng không có số chữ số hữu hạn nào có thể đại diện chính xác cho số pi, và cũng không có sự lặp lại trong chuỗi số sau dấu thập phân.
Việc chứng minh rằng chuỗi số thập phân của số hữu tỉ phải chấm dứt hoặc lặp lại khác với chứng minh rằng chuỗi số thập phân chấm dứt hoặc lặp lại phải là một số hữu tỉ. Mặc dù chứng minh này không dài và có thể được hiểu một cách sơ cấp, nhưng chúng không đơn giản. Các nhà toán học thường không coi việc thể hiện thập phân là “chấm dứt hoặc lặp lại” là định nghĩa của khái niệm số hữu tỉ.
Số vô tỉ cũng có thể được biểu diễn thông qua các liên phân số không kết thúc. Điều này có nghĩa là có thể biểu diễn số vô tỉ dưới dạng phân số liên tục, trong đó mỗi số hạng tiếp theo là một số nguyên.
Chứng minh đầu tiên về sự tồn tại của số vô tỉ và vai trò của Hippasus trong toán học cổ đại
Bằng chứng đầu tiên cho thấy về sự tồn tại của các số vô tỉ thường được quy cho một người theo trường phái Pythagore (cũng có thể là Hippasus của Metapontum), người có thể đã phát hiện ra chúng trong khi xác định các cạnh của ngôi sao năm cánh. Phương pháp Pythagore hiện tại đã tuyên bố rằng phải có một số đơn vị đủ nhỏ, không thể phân chia, có thể vừa khít với một trong những độ dài này cũng như các chiều dài khác. Tuy nhiên, Hippasus, vào thế kỷ thứ 5 TCN, đã có thể suy luận rằng trên thực tế không có đơn vị đo lường chung nào, và việc khẳng định sự tồn tại như vậy trên thực tế là một mâu thuẫn. Ông đã làm điều này bằng cách chứng minh rằng nếu cạnh huyền của tam giác vuông cân thực sự có tỷ lệ đo được khi so với cạnh góc vuông, thì một trong những độ dài được đo theo đơn vị đo đó phải là số lẻ và số chẵn, điều này là không thể. Lý luận của ông là như sau:
Giả sử chúng ta có một tam giác vuông cân với các số nguyên cạnh a, b và c. Tỷ lệ của cạnh huyền với một chân được biểu thị bằng c:b.
Giả sử a, b và c là các số hạng nhỏ nhất có thể (nghĩa là chúng không có ước số chung).
Theo định lý Pythagoras: c2 = a2 + b2 = b2 + b2 = 2b2. (Vì tam giác là cân, nên a = b).
Vì c2 = 2b2, c2 chia hết cho 2 và do đó chẵn.
Vì c2 là chẵn nên c phải chẵn.
Vì c là chẵn nên chia c cho 2 có thương là số nguyên. Đặt y là số nguyên này (c = 2y).
Bình phương cả hai vế của c = 2y thu được c2 = (2y)2 hoặc c2 = 4y2.
Thay 4y2 cho c2 theo phương trình thứ nhất (c2 = 2b2) cho kết quả 4y2 = 2b2.
Chia cho 2 thu được 2y2 = b2.
Vì y là một số nguyên và 2y2 = b2, b2 phải chia hết cho 2 và do đó là số chẵn.
Vì b2 là chẵn nên b phải chẵn.
Chúng ta vừa chỉ ra rằng cả b và c phải là số chẵn. Do đó chúng có ước số chung là 2. Tuy nhiên, điều này mâu thuẫn với giả định rằng chúng không có ước số chung. Mâu thuẫn này chứng minh rằng cả c và b không thể là số nguyên và do đó, có sự tồn tại của một số không thể biểu thị bằng tỷ lệ của hai số nguyên.
Các nhà toán học Hy Lạp đã gọi tỉ lệ này là các số không thể đo lường được, hoặc không thể diễn tả được. Tuy nhiên, Hippasus không được ca ngợi vì những nỗ lực của mình: theo một truyền thuyết, ông đã khám phá ra điều này khi đang ở ngoài biển và sau đó bị các nhà toán học cùng trường phái Pythagore của ông ném ra khỏi tàu vì đã tạo ra một yếu tố trong vũ trụ mà phản đối lại học thuyết, rằng tất cả các hiện tượng trong vũ trụ có thể được tối giản thành các số nguyên và tỉ lệ của chúng. Một truyền thuyết nói rằng Hippasus chỉ đơn thuần là phải đi lưu vong vì chứng minh này. Dù hậu quả của Hippasus là gì, khám phá của ông đã đặt ra một vấn đề rất nghiêm trọng đối với toán học Pythagore, vì nó phá vỡ giả định rằng số lượng và hình học không thể tách rời – một nền tảng của lý thuyết này.
Vấn đề mà các số vô tỉ đặt ra cho lý thuyết Pythagoras và phản ứng của các nhà toán học Hy Lạp
Các số vô tỉ đã tạo ra một vấn đề sâu sắc đối với lý thuyết Pythagoras, đặc biệt là trong bối cảnh hình học và số học mà Pythagoras và các học trò của ông xây dựng. Theo lý thuyết Pythagoras, mọi độ dài có thể được đo lường và so sánh bằng cách sử dụng một đơn vị đo chung. Tuy nhiên, phát hiện rằng các số vô tỉ tồn tại đã thách thức quan điểm này và gây ra những mâu thuẫn đáng kể.
Vấn đề bắt nguồn từ việc chứng minh rằng không phải tất cả các tỷ lệ giữa các cạnh của tam giác vuông đều có thể được biểu diễn bằng các số nguyên. Một trong những chứng minh nổi tiếng được đưa ra bởi Hippasus của Metapontum vào thế kỷ thứ 5 TCN. Hippasus chỉ ra rằng nếu cạnh huyền của một tam giác vuông cân có thể được đo bằng một tỷ lệ hữu tỉ so với các cạnh góc vuông, thì điều đó sẽ dẫn đến mâu thuẫn trong các số học cơ bản. Ông chứng minh rằng nếu cạnh huyền có thể được đo bằng tỷ lệ hữu tỉ, thì cả hai cạnh góc vuông phải là số chẵn, điều này mâu thuẫn với giả định rằng chúng không có ước số chung. Kết quả là, ông chỉ ra rằng các tỷ lệ này không thể được biểu diễn bằng tỷ lệ giữa hai số nguyên, tức là chúng là số vô tỉ.
Phát hiện này đã gây sốc cho các nhà toán học Hy Lạp thời bấy giờ, vì nó phá vỡ giả định cơ bản rằng mọi độ dài có thể được đo lường bằng một đơn vị chung. Các số vô tỉ chứng minh rằng có những độ dài không thể so sánh trực tiếp bằng các đơn vị đo được biết đến, dẫn đến sự cần thiết phải điều chỉnh lý thuyết về đo lường và tỷ lệ. Sự phát hiện này không chỉ gây khó khăn cho lý thuyết Pythagoras mà còn đặt ra một thách thức lớn đối với các khái niệm toán học đương thời về tính liên tục và rời rạc.
Phản ứng của các nhà toán học Hy Lạp đối với vấn đề này rất đa dạng. Trong khi một số nhà toán học có thể đã bác bỏ hoặc bỏ qua những khám phá này, thì những người khác như Eudoxus đã cố gắng xây dựng một lý thuyết mới để giải quyết các vấn đề về tỷ lệ và số lượng. Eudoxus đã phát triển lý thuyết tỷ lệ mới, phân biệt giữa cường độ và số lượng, nhằm đưa ra một phương pháp giải quyết cho các tỷ lệ không thể đo lường được, qua đó giúp làm rõ và củng cố các khái niệm toán học trong thời kỳ này.
Sự phát triển lý thuyết tỷ lệ của Eudoxus và sự phân biệt giữa cường độ và số lượng trong toán học
Eudoxus của Cnidus, một trong những nhà toán học vĩ đại của Hy Lạp cổ đại, đã có những đóng góp quan trọng trong việc phát triển lý thuyết tỷ lệ, đặc biệt là khi đối mặt với vấn đề của các số vô tỉ và sự mâu thuẫn với lý thuyết Pythagoras. Để giải quyết những vấn đề này, Eudoxus đã phát triển một lý thuyết tỷ lệ mới, phân biệt rõ ràng giữa cường độ và số lượng, điều này đã giúp làm sáng tỏ nhiều khái niệm toán học phức tạp.
Lý thuyết tỷ lệ của Eudoxus tập trung vào việc định nghĩa các tỷ lệ không chỉ dựa trên số lượng mà còn dựa trên cường độ. Cường độ ở đây không phải là số lượng cụ thể mà là một khái niệm liên tục liên quan đến các thực thể như đoạn thẳng, góc, diện tích, và thể tích. Trong khi số lượng được xác định bằng các đơn vị cụ thể và có thể được đo lường bằng các số nguyên, cường độ là khái niệm liên tục mà không thể đo lường bằng các đơn vị cụ thể và có thể giảm vô hạn.
Bằng cách phân biệt giữa cường độ và số lượng, Eudoxus đã giúp giải quyết các vấn đề liên quan đến tỷ lệ của số vô tỉ. Ông đã đề xuất rằng các tỷ lệ có thể được xác định không chỉ bằng cách so sánh các số lượng cụ thể mà còn bằng cách xem xét mối quan hệ giữa cường độ của các thực thể toán học. Điều này cho phép ông định nghĩa và làm việc với các tỷ lệ vô tỉ mà không cần phải sử dụng các số cụ thể, giúp mở rộng phạm vi và khả năng áp dụng của lý thuyết tỷ lệ.
Lý thuyết tỷ lệ của Eudoxus không chỉ giúp giải quyết các vấn đề về tỷ lệ vô tỉ mà còn tạo ra một nền tảng vững chắc cho các nghiên cứu toán học sau này. Nhờ vào việc phân biệt giữa cường độ và số lượng, ông đã tạo ra một phương pháp chính xác hơn để phân tích các mối quan hệ tỷ lệ, làm rõ các khái niệm liên quan đến số lượng liên tục và không thể đo lường được. Điều này đã cung cấp một cơ sở lý thuyết quan trọng cho các nhà toán học Hy Lạp và các thế hệ sau trong việc nghiên cứu và hiểu các khái niệm toán học phức tạp.
Nhờ vào đóng góp của Eudoxus, toán học cổ đại đã có thể phát triển từ những lý thuyết cơ bản của Pythagoras và mở rộng khả năng nghiên cứu các số vô tỉ và tỷ lệ, qua đó đóng góp vào sự phát triển toàn diện của toán học và lý thuyết tỷ lệ.
Ảnh hưởng của các lý thuyết về số vô tỉ đối với sự tiến bộ trong hình học và toán học Hy Lạp
Các lý thuyết về số vô tỉ đã có ảnh hưởng sâu rộng đối với sự phát triển của hình học và toán học trong nền toán học Hy Lạp cổ đại. Những khám phá liên quan đến số vô tỉ không chỉ làm thay đổi cách nhìn nhận về số học mà còn thúc đẩy sự tiến bộ mạnh mẽ trong các lĩnh vực hình học và lý thuyết toán học.
Trước khi các số vô tỉ được phát hiện, các nhà toán học Hy Lạp chủ yếu tập trung vào việc nghiên cứu các số hữu tỉ và tỷ lệ giữa chúng. Tuy nhiên, sự phát hiện về số vô tỉ, đặc biệt là thông qua các chứng minh của Hippasus, đã làm nổi bật những giới hạn của lý thuyết Pythagoras và dẫn đến sự cần thiết phải điều chỉnh và mở rộng lý thuyết toán học. Những số này chứng minh rằng không phải tất cả các tỷ lệ giữa các độ dài đều có thể được biểu diễn bằng tỷ lệ hữu tỉ, và điều này đã làm nổi bật sự cần thiết phải nghiên cứu sâu hơn về các khái niệm liên quan đến số lượng và cường độ.
Sự phát triển của lý thuyết tỷ lệ do Eudoxus đưa ra đã cung cấp một phương pháp tiếp cận mới cho việc hiểu và làm việc với các số vô tỉ. Bằng cách phân biệt rõ ràng giữa cường độ và số lượng, Eudoxus đã mở ra một hướng đi mới cho hình học, cho phép các nhà toán học làm việc với các tỷ lệ vô tỉ mà không cần phải dựa vào các số lượng cụ thể. Lý thuyết này đã cung cấp nền tảng vững chắc cho các nghiên cứu hình học, giúp các nhà toán học giải quyết các vấn đề liên quan đến tỷ lệ và đo lường trong các hình học phức tạp.
Ảnh hưởng của các lý thuyết về số vô tỉ còn được thể hiện qua sự thay đổi trong cách các nhà toán học nhìn nhận và nghiên cứu hình học. Các khái niệm hình học truyền thống đã phải được điều chỉnh để phù hợp với sự hiểu biết mới về các số vô tỉ. Điều này dẫn đến sự phát triển của các phương pháp và lý thuyết mới trong hình học, mở rộng khả năng nghiên cứu và ứng dụng của các khái niệm hình học. Các nghiên cứu hình học đã trở nên phong phú hơn và chính xác hơn, nhờ vào việc tích hợp các lý thuyết mới về tỷ lệ và số lượng.
Các lý thuyết về số vô tỉ không chỉ làm phong phú thêm kho tàng kiến thức toán học của người Hy Lạp mà còn thúc đẩy sự phát triển mạnh mẽ trong hình học. Sự điều chỉnh và mở rộng các lý thuyết toán học đã góp phần quan trọng vào sự tiến bộ toàn diện trong các lĩnh vực toán học, tạo nền tảng cho những nghiên cứu và khám phá tiếp theo trong lịch sử toán học.
Các chủ đề liên quan: Số vô tỉ , Số hữu tỉ , Tỷ lệ vàng
Tổng biên tập: Nguyễn Ngọc Kim Hằng
